Álgebra Ejemplos

$x^{2} \leq 4 x + 1$

Paso 1

Resta $4 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 4 x \leq 1$

Paso 2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 4 x - 1 \leq 0$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + \sqrt{5}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - \sqrt{5}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2 - \sqrt{5}$

$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$

$x > 2 + \sqrt{5}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2 - \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2 - \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} \leq 4 (- 3) + 1$

Paso 11.1.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $- 11$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} \leq 4 (0) + 1$

Paso 11.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2 + \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2 + \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

${(7)}^{2} \leq 4 (7) + 1$

Paso 11.3.3

$49$ del lado izquierdo es mayor que $29$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2 - \sqrt{5}$ Falso

$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ Verdadero

$x > 2 + \sqrt{5}$ Falso

$x < 2 - \sqrt{5}$ Falso

$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ Verdadero

$x > 2 + \sqrt{5}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 - \sqrt{5} \leq x \leq 2 + \sqrt{5}$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]$

Paso 14