Álgebra Ejemplos

$y + 2 x + 3 = - {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y + 3 = - {(x + 2)}^{2} + 1 - 2 x$

Paso 1.1.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - {(x + 2)}^{2} + 1 - 2 x - 3$

Paso 1.1.3

Resta $3$ de $1$ .

$y = - {(x + 2)}^{2} - 2 x - 2$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- {(x + 2)}^{2} - 2 x - 2$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$- ((x + 2) (x + 2)) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$- (x^{2} + 4 x + 4) - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4 - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4 - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- x^{2} - 4 x - 4 - 2 x - 2$

Paso 1.2.1.2

Resta $2 x$ de $- 4 x$ .

$- x^{2} - 6 x - 4 - 2$

Paso 1.2.1.3

Resta $2$ de $- 4$ .

$- x^{2} - 6 x - 6$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - 6$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 3$ como $- - 3$ .

$d = - - 3$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$d = 3$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = - 6 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - 6 - \frac{36}{- 4}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Divide $36$ por $- 4$ .

$e = - 6 - - 9$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$e = - 6 + 9$

Paso 1.2.5.2.2

Suma $- 6$ y $9$ .

$e = 3$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 3)}^{2} + 3$ .

$- {(x + 3)}^{2} + 3$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x + 3)}^{2} + 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = - 3$

$k = 3$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 3)$

Paso 4