Álgebra Ejemplos

${(2 z + 5 k)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 z)}^{4 - k} \cdot {(5 k)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 z)}^{4 - 0} \cdot {(5 k)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 z)}^{4 - 1} \cdot {(5 k)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 z)}^{4 - 2} \cdot {(5 k)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 z)}^{4 - 3} \cdot {(5 k)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 z)}^{4 - 4} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(2 z)}^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 z)}^{4}$ por $1$ .

${(2 z)}^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 z$ .

$2^{4} z^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 z^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $5 k$ .

$16 z^{4} \cdot (5^{0} k^{0}) + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 \cdot 5^{0} z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$16 \cdot 1 z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.7

Multiplica $16$ por $1$ .

$16 z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$16 z^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.9

Multiplica $16$ por $1$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $2 z$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot (2^{3} z^{3}) \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot (8 z^{3}) \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.12

Multiplica $8$ por $4$ .

$16 z^{4} + 32 z^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.13

Simplifica.

$16 z^{4} + 32 z^{3} \cdot (5 k) + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 z^{4} + 32 \cdot 5 z^{3} k + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.15

Multiplica $32$ por $5$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $2 z$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot (2^{2} z^{2}) \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.17

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot (4 z^{2}) \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.18

Multiplica $4$ por $6$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 z^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 z^{2} \cdot (5^{2} k^{2}) + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.20

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 \cdot 5^{2} z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.21

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 \cdot 25 z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.22

Multiplica $24$ por $25$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.23

Simplifica.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 4 \cdot (2 z) \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.24

Multiplica $2$ por $4$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 z \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.25

Aplica la regla del producto a $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 z \cdot (5^{3} k^{3}) + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.26

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 \cdot 5^{3} z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.27

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 \cdot 125 z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.28

Multiplica $8$ por $125$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.29

Multiplica ${(2 z)}^{0}$ por $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.30

Aplica la regla del producto a $2 z$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 2^{0} z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.31

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.32

Multiplica $z^{0}$ por $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.33

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 \cdot {(5 k)}^{4}$

Paso 4.34

Multiplica ${(5 k)}^{4}$ por $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + {(5 k)}^{4}$

Paso 4.35

Aplica la regla del producto a $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 5^{4} k^{4}$

Paso 4.36

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 625 k^{4}$