Álgebra Ejemplos

$12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.1.1.1

Divide cada término en $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ por $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Paso 1.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.1

Divide $- 48$ por $12$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} - 4$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((x - 1) (x - 1)) - 4$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 4$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 4$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Paso 1.2.1.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 4$

Paso 1.2.1.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x + 1) - 4$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) - 4$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Paso 1.2.1.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4 \cdot \frac{12}{12}$

Paso 1.2.1.3

Combina $- 4$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 4 \cdot 12}{12}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 48}{12}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $48$ de $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 47}{12}$

Paso 1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{47}{12}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{6}$

$c = - \frac{47}{12}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Paso 1.2.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{6} (1 \cdot 6)$

Paso 1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$d = \frac{- 1}{6} (1 \cdot 6)$

Paso 1.2.4.2.5.2

Factoriza $6$ de $1 \cdot 6$ .

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.5.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.5.4

Reescribe la expresión.

$d = - 1$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- \frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{6}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{6}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 (\frac{1}{36})}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{36}$ por $1$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{36} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 (12)} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 \cdot 12} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1}{12}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 47 - 1}{12}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $1$ de $- 47$ .

$e = \frac{- 48}{12}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 48$ por $12$ .

$e = - 4$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = 1$

$k = - 4$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 3$

Paso 4.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 7$

Paso 6