Álgebra Ejemplos

$y = x^{2} - 10 x + 33$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} - 10 x + 33$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 33$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 33 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = 33 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 33 - \frac{100}{4}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Divide $100$ por $4$ .

$e = 33 - 1 \cdot 25$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$e = 33 - 25$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $25$ de $33$ .

$e = 8$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 5)}^{2} + 8$ .

${(x - 5)}^{2} + 8$

Paso 1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x - 5)}^{2} + 8$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 5$

$k = 8$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(5, 8)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{31}{4}$

Paso 6