Álgebra Ejemplos

$y = 4^{2 x + 9}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 4^{2 y + 9}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $4^{2 y + 9} = x$ .

$4^{2 y + 9} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande $\ln (4^{2 y + 9})$ ; para ello, mueve $2 y + 9$ fuera del logaritmo.

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

Paso 2.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

Paso 2.6

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.6.1

Resta $9 \ln (4)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

Paso 2.6.2

Suma $\ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

Paso 2.7

Divide cada término en $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ por $2 \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 2.7.1

Divide cada término en $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ por $2 \ln (4)$ .

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 2.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 2.7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 2.7.2.2

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 2.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 2.7.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 2.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 2.7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 2.7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 2.7.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ es la inversa de $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Expande $\ln (4^{2 x + 9})$ ; para ello, mueve $2 x + 9$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Paso 4.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

Paso 4.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

Paso 4.2.4.2

Combina los términos opuestos en $- 9 + 2 x + 9$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1.1

Simplifica $2 \ln (4)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

Paso 4.3.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Paso 4.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

Paso 4.3.3.4.2

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Paso 4.3.4.2

Suma $0$ y $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ es la inversa de $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$