Álgebra Ejemplos

$y = 3 x^{3} - 5$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 3 y^{3} - 5$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $3 y^{3} - 5 = x$ .

$3 y^{3} - 5 = x$

Paso 2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{3} = x + 5$

Paso 2.3

Divide cada término en $3 y^{3} = x + 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 y^{3} = x + 5$ por $3$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{3}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$

Paso 2.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$ .

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{3}}$

Paso 2.5.2

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x + 5}{3}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$

Paso 2.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 2.5.4.2

Eleva $\sqrt[3]{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 2.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Paso 2.5.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Paso 2.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ como $3$ .

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Paso 2.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3}$ como $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 2.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 2.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Paso 2.5.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Paso 2.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Paso 2.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Paso 2.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ como $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Paso 2.5.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{9}}{3}$

Paso 2.5.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 9}}{3}$

Paso 2.5.6.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{3} - 5$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 x^{3} - 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 ((3 x^{3} - 5) + 5)}}{3}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 (3 x^{3} + 0)}}{3}$

Paso 4.2.3.2

Suma $3 x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 \cdot (3 x^{3})}}{3}$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3}}}{3}$

Paso 4.2.3.4

Reescribe $27 x^{3}$ como ${(3 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}}{3}$

Paso 4.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 {(\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3})}^{3} - 5$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}^{3}}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{9 (x + 5)}}^{3}$ como $9 (x + 5)$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9 (x + 5)}$ como ${(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{({(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.1.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 9 \cdot 5}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.3

Multiplica $9$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 45}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.4

Factoriza $9$ de $9 x + 45$ .

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Paso 4.3.3.2.4.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x) + 45}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.4.2

Factoriza $9$ de $45$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 9 \cdot 5}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.2.4.3

Factoriza $9$ de $9 x + 9 \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Paso 4.3.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{27}) - 5$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3 (9)}) - 5$

Paso 4.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3 \cdot 9}) - 5$

Paso 4.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = \frac{9 (x + 5)}{9} - 5$

Paso 4.3.3.5

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = \frac{9 (x + 5)}{9} - 5$

Paso 4.3.3.5.2

Divide $x + 5$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x + 5 - 5$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 5 - 5$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$