Álgebra Ejemplos

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ como una ecuación.

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ .

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ por $50000$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ por $50000$ .

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $50000$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide ${0.8}^{y}$ por $1$ .

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

Paso 3.4

Expande $\ln ({0.8}^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

Paso 3.5

Divide cada término en $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ por $\ln (0.8)$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ por $\ln (0.8)$ .

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (0.8)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ es la inversa de $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $50000$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Paso 5.2.3.2

Divide ${(0.8)}^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

Paso 5.2.4

Expande $\ln ({(0.8)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $\ln (0.8)$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Paso 5.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

Paso 5.3.3

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

Paso 5.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $50000$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ es la inversa de $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$