Álgebra Ejemplos

$y + 7.5 = 2 {(x + 2.5)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Resta $7.5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x + 2.5)}^{2}$ como $(x + 2.5) (x + 2.5)$ .

$2 ((x + 2.5) (x + 2.5)) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x + 2.5) (x + 2.5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (x + 2.5) + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $2.5$ a la izquierda de $x$ .

$2 (x^{2} + 2.5 \cdot x + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $2.5$ por $2.5$ .

$2 (x^{2} + 2.5 x + 2.5 x + 6.25) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $2.5 x$ y $2.5 x$ .

$2 (x^{2} + 5 x + 6.25) - 7.5$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$2 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Paso 1.2.1.1.5.2

Multiplica $2$ por $6.25$ .

$2 x^{2} + 10 x + 12.5 - 7.5$

Paso 1.2.1.2

Resta $7.5$ de $12.5$ .

$2 x^{2} + 10 x + 5$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 10$

$c = 5$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $5$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Reescribe $5$ como $1 (5)$ .

$d = \frac{1 (5)}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.2.2.1

Reescribe $2$ como $1 (2)$ .

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{8}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $100$ y $8$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $100$ .

$e = 5 - \frac{4 (25)}{8}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 5 - \frac{25}{2}$

Paso 1.2.5.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Paso 1.2.5.2.3

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Paso 1.2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{5 \cdot 2 - 25}{2}$

Paso 1.2.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$e = \frac{10 - 25}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Resta $25$ de $10$ .

$e = \frac{- 15}{2}$

Paso 1.2.5.2.6

Cancela el factor común de $- 15$ y $2$ .

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Paso 1.2.5.2.6.1

Reescribe $- 15$ como $1 (- 15)$ .

$e = \frac{1 (- 15)}{2}$

Paso 1.2.5.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.6.2.1

Reescribe $2$ como $1 (2)$ .

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{- 15}{2}$

Paso 1.2.5.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{15}{2}$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$ .

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - \frac{15}{2}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{15}{2})$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 4.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{61}{8}$

Paso 6