Álgebra Ejemplos

$y = e^{x + 3} - 4$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = e^{y + 3} - 4$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $e^{y + 3} - 4 = x$ .

$e^{y + 3} - 4 = x$

Paso 2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{y + 3} = x + 4$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y + 3}) = \ln (x + 4)$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Expande $\ln (e^{y + 3})$ ; para ello, mueve $y + 3$ fuera del logaritmo.

$(y + 3) \ln (e) = \ln (x + 4)$

Paso 2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y + 3) \cdot 1 = \ln (x + 4)$

Paso 2.4.3

Multiplica $y + 3$ por $1$ .

$y + 3 = \ln (x + 4)$

Paso 2.5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (x + 4) - 3$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ es la inversa de $f (x) = e^{x + 3} - 4$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{x + 3} - 4)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $\ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$ .

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Paso 4.2.3.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3} + 0) - 3$

Paso 4.2.3.2

Suma $e^{x + 3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3}) - 3$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x + 3$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \ln (e) - 3$

Paso 4.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \cdot 1 - 3$

Paso 4.2.4.3

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 3 - 3$

Paso 4.2.5

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 4.2.5.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 0$

Paso 4.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\ln (x + 4) - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$ .

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Paso 4.3.3.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4) + 0} - 4$

Paso 4.3.3.2

Suma $\ln (x + 4)$ y $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4)} - 4$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 4 - 4$

Paso 4.3.5

Combina los términos opuestos en $x + 4 - 4$ .

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Paso 4.3.5.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 0$

Paso 4.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ es la inversa de $f (x) = e^{x + 3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$