Álgebra Ejemplos

$12 x + y^{2} - 14 y + 1 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x - 14 y + 1 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $14 y$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x + 1 = - y^{2} + 14 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x = - y^{2} + 14 y - 1$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $12 x = - y^{2} + 14 y - 1$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $12 x = - y^{2} + 14 y - 1$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{14 y}{12} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{14 y}{12} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{14 y}{12} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{14 y}{12} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $14$ y $12$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $14 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (7 y)}{12} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (7 y)}{2 (6)} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (7 y)}{2 \cdot 6} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{7 y}{6} + \frac{- 1}{12}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{7 y}{6} - \frac{1}{12}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{12} + \frac{7 y}{6} - \frac{1}{12}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{7}{6}$

$c = - \frac{1}{12}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{7}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{7}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = \frac{7}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

Paso 1.2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{7}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

Paso 1.2.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.2.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{7}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

Paso 1.2.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{7}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Paso 1.2.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{7}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Paso 1.2.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{7}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{7}{6} (- (1 \cdot 6))$

Paso 1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Factoriza $6$ de $- (1 \cdot 6)$ .

$d = \frac{7}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 1.2.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{7}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 1.2.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$d = 7 (- 1 \cdot (1))$

Paso 1.2.3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = 7 \cdot - 1$

Paso 1.2.3.2.8

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$d = - 7$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{{(\frac{7}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{6}$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{7^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{1}{12} - \frac{\frac{49}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{49}{36} (- 1 \cdot 3))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{49}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Factoriza $3$ de $- 1 \cdot 3$ .

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{49}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{49}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{1}{12} - (\frac{49}{12} \cdot - 1)$

Paso 1.2.4.2.1.6

Combina $\frac{49}{12}$ y $- 1$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{49 \cdot - 1}{12}$

Paso 1.2.4.2.1.7

Multiplica $49$ por $- 1$ .

$e = - \frac{1}{12} - \frac{- 49}{12}$

Paso 1.2.4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{1}{12} - - \frac{49}{12}$

Paso 1.2.4.2.1.9

Multiplica $- - \frac{49}{12}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{1}{12} + 1 (\frac{49}{12})$

Paso 1.2.4.2.1.9.2

Multiplica $\frac{49}{12}$ por $1$ .

$e = - \frac{1}{12} + \frac{49}{12}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 1 + 49}{12}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $- 1$ y $49$ .

$e = \frac{48}{12}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $48$ por $12$ .

$e = 4$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{12} {(y - 7)}^{2} + 4$ .

$- \frac{1}{12} {(y - 7)}^{2} + 4$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y - 7)}^{2} + 4$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 4$

$k = 7$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, 7)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 4.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 3)$

Paso 4.3.5

Multiplica $- (1 \cdot 3)$ .

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3$

Paso 5

Obtén el foco.

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Paso 5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, 7)$

Paso 6