Álgebra Ejemplos

$y = \frac{1}{4} x^{3} - 2$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{4} y^{3} - 2$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$ .

$\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{4} - 2 = x$

Paso 2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{3}}{4} = x + 2$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Paso 2.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Paso 2.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 4 (x + 2)$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica $4 (x + 2)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 4 x + 4 \cdot 2$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y^{3} = 4 x + 8$

Paso 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{4 x + 8}$

Paso 2.7

Factoriza $4$ de $4 x + 8$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$y = \sqrt[3]{4 (x) + 8}$

Paso 2.7.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \sqrt[3]{4 x + 4 \cdot 2}$

Paso 2.7.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 ((\frac{1}{4} x^{3} - 2) + 2)}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} - 2 + 2)}$

Paso 4.2.4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + 0)}$

Paso 4.2.4.2

Suma $\frac{x^{3}}{4}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4})}$

Paso 4.2.5

Combina $4$ y $\frac{x^{3}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Paso 4.2.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.6.1

Reduce la expresión $\frac{4 x^{3}}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.6.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Paso 4.2.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Paso 4.2.6.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 4.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{4 (x + 2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(\sqrt[3]{4 (x + 2)})}^{3} - 2$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4 (x + 2)}}^{3}$ como $4 (x + 2)$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 (x + 2)}$ como ${(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {({(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 2$

Paso 4.3.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 2$

Paso 4.3.3.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Paso 4.3.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Paso 4.3.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Paso 4.3.3.1.5

Simplifica.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 2 - 2$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$