Álgebra Ejemplos

${(r - t)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(r)}^{4 - k} \cdot {(- t)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(r)}^{4 - 0} \cdot {(- t)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(r)}^{4 - 1} \cdot {(- t)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(r)}^{4 - 2} \cdot {(- t)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(r)}^{4 - 3} \cdot {(- t)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(r)}^{4 - 4} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(r)}^{4} \cdot {(- t)}^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(r)}^{4}$ por $1$ .

${(r)}^{4} \cdot {(- t)}^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $- t$ .

$r^{4} \cdot ({(- 1)}^{0} t^{0}) + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- 1)}^{0} r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.5

Multiplica $r^{4}$ por $1$ .

$r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$r^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.7

Multiplica $r^{4}$ por $1$ .

$r^{4} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.8

Simplifica.

$r^{4} + 4 r^{3} \cdot (- t) + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{4} + 4 \cdot - 1 r^{3} t + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.10

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $- t$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} \cdot ({(- 1)}^{2} t^{2}) + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 \cdot {(- 1)}^{2} r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 \cdot 1 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.14

Multiplica $6$ por $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.15

Simplifica.

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot r \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $- t$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 r \cdot ({(- 1)}^{3} t^{3}) + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.17

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot - 1 r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.19

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.20

Multiplica ${(r)}^{0}$ por $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.21

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + 1 \cdot {(- t)}^{4}$

Paso 4.22

Multiplica ${(- t)}^{4}$ por $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + {(- t)}^{4}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $- t$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + {(- 1)}^{4} t^{4}$

Paso 4.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + 1 t^{4}$

Paso 4.25

Multiplica $t^{4}$ por $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + t^{4}$