Álgebra Ejemplos

$y = e^{2 x - 9}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = e^{2 y - 9}$

Paso 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $e^{2 y - 9} = x$ .

$e^{2 y - 9} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y - 9}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Expande $\ln (e^{2 y - 9})$ ; para ello, mueve $2 y - 9$ fuera del logaritmo.

$(2 y - 9) \ln (e) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 y - 9) \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2 y - 9$ por $1$ .

$2 y - 9 = \ln (x)$

Paso 2.4

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = \ln (x) + 9$

Paso 2.5

Divide cada término en $2 y = \ln (x) + 9$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Divide cada término en $2 y = \ln (x) + 9$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x - 9}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{2 x - 9})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{\ln (e^{2 x - 9})}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{\ln (e^{2 x - 9}) + 9}{2}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2 x - 9$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{(2 x - 9) \ln (e) + 9}{2}$

Paso 4.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{(2 x - 9) \cdot 1 + 9}{2}$

Paso 4.2.4.3

Multiplica $2 x - 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{2 x - 9 + 9}{2}$

Paso 4.2.5

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 9 + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 4.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 9}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) - 9}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{9}{2}) - 9}$

Paso 4.3.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{9}{2}) - 9}$

Paso 4.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{9}{2}) - 9}$

Paso 4.3.3.3

Simplifica $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{9}{2}) - 9}$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{9}{2}) - 9}$

Paso 4.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 9 - 9}$

Paso 4.3.3.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 9 - 9}$

Paso 4.3.3.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 9 - 9}$

Paso 4.3.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 9 - 9}$

Paso 4.3.3.5.2

Simplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln (x) + 9 - 9}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $\ln (x) + 9 - 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Resta $9$ de $9$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Paso 4.3.4.2

Suma $\ln (x)$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = e^{\ln (x)}$

Paso 4.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x - 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{9}{2}$