Álgebra Ejemplos

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Simplifica $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ .

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Paso 2.3.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{y + 2}$ .

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Paso 2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{y + 2} = 5 x$

Paso 2.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

Paso 2.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1

Expande $\ln (e^{y + 2})$ ; para ello, mueve $y + 2$ fuera del logaritmo.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

Paso 2.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

Paso 2.5.3

Multiplica $y + 2$ por $1$ .

$y + 2 = \ln (5 x)$

Paso 2.6

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (5 x) - 2$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Paso 4.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Paso 4.2.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $x + 2$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Paso 4.2.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Paso 4.2.3.5

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\ln (5 x) - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(\ln (5 x) - 2) + 2$ .

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Paso 4.3.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

Paso 4.3.3.2

Suma $\ln (5 x)$ y $0$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Paso 4.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$