Álgebra Ejemplos

$y = 2 x + \frac{5}{2}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2 y + \frac{5}{2}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2 y + \frac{5}{2} = x$ .

$2 y + \frac{5}{2} = x$

Paso 2.2

Resta $\frac{5}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = x - \frac{5}{2}$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 y = x - \frac{5}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 y = x - \frac{5}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$ es la inversa de $f (x) = 2 x + \frac{5}{2}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{2 x + \frac{5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3.1.2

Combina $2 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{\frac{2 x \cdot 2 + 5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{\frac{4 x + 5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $\frac{4 x + 5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Multiplica $\frac{4 x + 5}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5}{2 \cdot 2} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

Paso 4.2.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x + 5 - 5$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (- \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (\frac{- 5}{4}) + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (\frac{- 5}{2 (2)}) + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.3.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (\frac{- 5}{2 \cdot 2}) + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.3.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + \frac{- 5}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- \frac{5}{2}$ y $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$ es la inversa de $f (x) = 2 x + \frac{5}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$