Álgebra Ejemplos

$y = 2 \sqrt[5]{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2 \sqrt[5]{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt[5]{y} = x$ .

$2 \sqrt[5]{y} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 \sqrt[5]{y} = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 \sqrt[5]{y} = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\sqrt[5]{y}$ por $1$ .

$\sqrt[5]{y} = \frac{x}{2}$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{y}$ como $y^{\frac{1}{5}}$ .

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(\frac{x}{2})}^{5}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{2^{5}}$

Paso 2.4.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$y = \frac{x^{5}}{32}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{{(2 \sqrt[5]{x})}^{5}}{32}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{2^{5} {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Paso 4.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Paso 4.2.3.3

Reescribe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ como $x$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{32}$

Paso 4.2.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{32}$

Paso 4.2.3.3.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Paso 4.2.3.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Paso 4.2.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Paso 4.2.3.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $32$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{5}}{32})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Paso 4.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Paso 4.3.4

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{2^{5}}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $\frac{x^{5}}{2^{5}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{{(\frac{x}{2})}^{5}}$

Paso 4.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$