Álgebra Ejemplos

$y = - x^{2} + 4 x + 8$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 4 x + 8$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 8$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 8 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 8 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 8 - (- 1 \cdot 4)$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 8 - - 4$

Paso 1.1.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 8 + 4$

Paso 1.1.4.2.2

Suma $8$ y $4$ .

$e = 12$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - 2)}^{2} + 12$ .

$- {(x - 2)}^{2} + 12$

Paso 1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 12$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 12$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 12)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 5

Obtén el foco.

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Paso 5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, \frac{47}{4})$

Paso 6