Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (2 x^{2} + 2 x)$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 5

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 6

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x}$

Paso 6.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Paso 6.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x + 1)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x + 1$ de $2 x (x + 1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (2 x)}$

Paso 9

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 1$ .

$\frac{1}{2 \cdot (x - 1) x}$

Paso 10

Reordena los factores en $\frac{1}{2 (x - 1) x}$ .

$\frac{1}{2 x (x - 1)}$