Álgebra Ejemplos

${(x + 2 y)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x)}^{4 - k} \cdot {(2 y)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(x)}^{4 - 0} \cdot {(2 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(x)}^{4 - 1} \cdot {(2 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(x)}^{4 - 2} \cdot {(2 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(x)}^{4 - 3} \cdot {(2 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(x)}^{4 - 4} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(x)}^{4} \cdot {(2 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{4}$ por $1$ .

${(x)}^{4} \cdot {(2 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$x^{4} \cdot (2^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.5

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.7

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.8

Simplifica.

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot (2 y) + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.10

Multiplica $4$ por $2$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 x^{2} \cdot (2^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 \cdot 2^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 6 \cdot 4 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.14

Multiplica $6$ por $4$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.15

Simplifica.

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot x \cdot {(2 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 x \cdot (2^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.17

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 2^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.18

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 8 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.19

Multiplica $4$ por $8$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.20

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + {(x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.21

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 1 \cdot {(2 y)}^{4}$

Paso 4.22

Multiplica ${(2 y)}^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + {(2 y)}^{4}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 2^{4} y^{4}$

Paso 4.24

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 16 y^{4}$