Álgebra Ejemplos

$y = 2^{3 x - 1}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2^{3 y - 1}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2^{3 y - 1} = x$ .

$2^{3 y - 1} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande $\ln (2^{3 y - 1})$ ; para ello, mueve $3 y - 1$ fuera del logaritmo.

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $(3 y - 1) \ln (2)$ .

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Paso 2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

Paso 2.4.1.2

Reescribe $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

Paso 2.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

Paso 2.6

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.6.1

Suma $\ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

Paso 2.6.2

Suma $\ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

Paso 2.7

Divide cada término en $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ por $3 \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 2.7.1

Divide cada término en $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ por $3 \ln (2)$ .

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 2.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 2.7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 2.7.2.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 2.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 2.7.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 2.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.3.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 2.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 2.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Expande $\ln (2^{3 x - 1})$ ; para ello, mueve $3 x - 1$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Paso 4.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

Paso 4.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

Paso 4.2.4.2

Combina los términos opuestos en $1 + 3 x - 1$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1.1

Simplifica $3 \ln (2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

Paso 4.3.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Paso 4.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Paso 4.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Combina $3$ y $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

Paso 4.3.3.4.2

Simplifica $3 \ln (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Paso 4.3.4.2

Suma $0$ y $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$