Álgebra Ejemplos

y = f (2 x)

$y = f (2 x)$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta

f (2 x)

$f (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

y - f (2 x) = 0

$y - f (2 x) = 0$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

y - 1 \cdot 2 f x = 0

$y - 1 \cdot 2 f x = 0$

Paso 1.1.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

y - 2 f x = 0

$y - 2 f x = 0$

y - 2 f x = 0

$y - 2 f x = 0$

Paso 1.1.3

Reordena

y

$y$ y

- 2 f x

$- 2 f x$ .

- 2 f x + y = 0

$- 2 f x + y = 0$

- 2 f x + y = 0

$- 2 f x + y = 0$

Paso 1.2

Divide cada término por

0

$0$ para que el lado derecho sea igual a uno.

- \frac{2 f x}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}

$- \frac{2 f x}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}$

Paso 1.3

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

1

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

1

$1$ .

y - f x = 1

$y - f x = 1$

y - f x = 1

$y - f x = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable

h

$h$ representa el desplazamiento de x desde el origen,

k

$k$ representa el desplazamiento de y desde el origen,

a

$a$ .

a = 1

$a = 1$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Sustituye los valores de

h

$h$ y

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén

c

$c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 5.3.3

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar

a

$a$ a

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

a

$a$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(1, 0)

$(1, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

a

$a$ de

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

a

$a$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar

c

$c$ a

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(\sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

c

$c$ de

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(- \sqrt{2}, 0)

$(- \sqrt{2}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Divide

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ por

1

$1$ .

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 8.3.4

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de

b

$b$ y

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.2

Multiplica

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Multiplica

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ como

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.6.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ como

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma

y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

y = \pm 1 \cdot x + 0

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Paso 11

Simplifica

1 \cdot x + 0

$1 \cdot x + 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Suma

1 \cdot x

$1 \cdot x$ y

0

$0$ .

y = 1 \cdot x

$y = 1 \cdot x$

Paso 11.2

Multiplica

x

$x$ por

1

$1$ .

y = x

$y = x$

y = x

$y = x$

Paso 12

Simplifica

- 1 \cdot x + 0

$- 1 \cdot x + 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Suma

- 1 \cdot x

$- 1 \cdot x$ y

0

$0$ .

y = - 1 \cdot x

$y = - 1 \cdot x$

Paso 12.2

Reescribe

- 1 x

$- 1 x$ como

- x

$- x$ .

y = - x

$y = - x$

y = - x

$y = - x$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

y = x, y = - x

$y = x, y = - x$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro:

(0, 0)

$(0, 0)$

Vértices:

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

Focos:

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Excentricidad:

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Parámetro focal:

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asíntotas:

y = x

$y = x$ ,

y = - x

$y = - x$

Paso 15