Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 8 x + 15}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x + 6}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 8 x + 15$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $8$ .

$3, 5$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x + 6}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x + 6}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 6}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x + 6$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x) + 6}$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 3)}$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $x + 3$ de $2 (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) \cdot 2}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) \cdot 2}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x - 4$ de $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$(x + 5) \cdot \frac{x + 4}{2}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{x + 4}{2} + 5 \frac{x + 4}{2}$

Paso 3.2.4

Combina $x$ y $\frac{x + 4}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + 5 \frac{x + 4}{2}$

Paso 3.2.5

Combina $5$ y $\frac{x + 4}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{5 (x + 4)}{2}$

Paso 3.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + 4) + 5 (x + 4)}{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 5 (x + 4)}{2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 5 (x + 4)}{2}$

Paso 3.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 5 (x + 4)}{2}$

Paso 3.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x + 5 x + 5 \cdot 4}{2}$

Paso 3.3.5

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 5 x + 20}{2}$

Paso 3.4

Suma $4 x$ y $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{2}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 9 x + 20$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $9$ .

$4, 5$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 4) (x + 5)}{2}$