Álgebra Ejemplos

$\frac{(1 + 2 \sqrt{- 3})}{(1 + \sqrt{- 3})}$

Paso 1

Extrae la unidad imaginaria $i$ .

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Paso 1.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{1 + 2 \sqrt{- 1 (3)}}{1 + \sqrt{- 3}}$

Paso 1.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 2 (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Paso 1.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Paso 1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1 (3)}}$

Paso 1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}$

Paso 1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{(1 + i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}$

Paso 3.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{1 - (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{4}$

Paso 4

Expande $(1 + 2 i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 - i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Paso 5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- i \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.1.4

Multiplica $2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.1.4.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.1.4.7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Paso 5.1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Paso 5.1.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 5.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 5.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 5.1.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 5.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 5.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 5.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 5.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{1}}{4}$

Paso 5.1.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{4}$

Paso 5.1.8

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 6}{4}$

Paso 5.2

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{- i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 7}{4}$

Paso 5.3

Suma $- i \sqrt{3}$ y $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{1 i \sqrt{3} + 7}{4}$

Paso 6

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{i \sqrt{3} + 7}{4}$

Paso 7

Reordena $i \sqrt{3}$ y $7$ .

$\frac{7 + i \sqrt{3}}{4}$