Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (6 x) - \log_{2} (\sqrt{x}) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{6 x}{\sqrt{x}}) = 2$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{6 x}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 2$

Paso 1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{6 x}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) = 2$

Paso 1.3.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) = 2$

Paso 1.3.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) = 2$

Paso 1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}) = 2$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Paso 1.3.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = 2$

Paso 1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = 2$

Paso 1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) = 2$

Paso 1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) = 2$

Paso 1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x}) = 2$

Paso 1.3.6.5

Simplifica.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x}) = 2$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x}) = 2$

Paso 1.4.2

Divide $6 \sqrt{x}$ por $1$ .

$\log_{2} (6 \sqrt{x}) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (6 \sqrt{x}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{2} = 6 \sqrt{x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $6 \sqrt{x} = 2^{2}$ .

$6 \sqrt{x} = 2^{2}$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(6 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$36 x^{1} = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Simplifica.

$36 x = {(2^{2})}^{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica ${(2^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x = 2^{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$36 x = 2^{4}$

Paso 3.3.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$36 x = 16$

Paso 3.4

Divide cada término en $36 x = 16$ por $36$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $36 x = 16$ por $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{16}{36}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{36 x}{36} = \frac{16}{36}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{36}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Cancela el factor común de $16$ y $36$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 (4)}{36}$

Paso 3.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$x = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 9}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 9}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{9}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{4}{9}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{4}$