Álgebra Ejemplos

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s - 4} = \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4}$

Paso 1

Resta $\frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s - 4} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s - 4} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 s - 4$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 s$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s) - 4} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 s + 2 \cdot - 2} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 s + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 s - 4} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 s$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} - 4 (s) - 4} = 0$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe $- 4$ como $2$ más $- 6$

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} + (2 - 6) s - 4} = 0$

Paso 2.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{3 s^{2} + 2 s - 6 s - 4} = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{(3 s^{2} + 2 s) - 6 s - 4} = 0$

Paso 2.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{s (3 s + 2) - 2 (3 s + 2)} = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 s + 2$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - \frac{- 2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} - - \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $- - \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ .

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} + 1 \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $\frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ por $1$ .

$\frac{s}{3 s + 2} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{s}{3 s + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)}$ .

$\frac{s}{3 s + 2} \cdot \frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{s + 3}{2 (s - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 s + 2}{3 s + 2}$ .

$\frac{s}{3 s + 2} \cdot \frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} \cdot \frac{3 s + 2}{3 s + 2} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 s + 2) \cdot 2 (s - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{s}{3 s + 2}$ por $\frac{2 (s - 2)}{2 (s - 2)}$ .

$\frac{s (2 (s - 2))}{(3 s + 2) (2 (s - 2))} + \frac{s + 3}{2 (s - 2)} \cdot \frac{3 s + 2}{3 s + 2} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{s + 3}{2 (s - 2)}$ por $\frac{3 s + 2}{3 s + 2}$ .

$\frac{s (2 (s - 2))}{(3 s + 2) (2 (s - 2))} + \frac{(s + 3) (3 s + 2)}{2 (s - 2) (3 s + 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(3 s + 2) (2 (s - 2))$ .

$\frac{s (2 (s - 2))}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{(s + 3) (3 s + 2)}{2 (s - 2) (3 s + 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.4.4

Reordena los factores de $2 (s - 2) (3 s + 2)$ .

$\frac{s (2 (s - 2))}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{(s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{s (2 (s - 2)) + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 s (s - 2) + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s \cdot s + 2 s \cdot - 2 + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.3

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.3.1

Mueve $s$ .

$\frac{2 (s \cdot s) + 2 s \cdot - 2 + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.3.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$\frac{2 s^{2} + 2 s \cdot - 2 + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + (s + 3) (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.5

Expande $(s + 3) (3 s + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + s (3 s + 2) + 3 (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + s (3 s) + s \cdot 2 + 3 (3 s + 2)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + s (3 s) + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s \cdot s + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.6.1.2

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.6.1.2.1

Mueve $s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 (s \cdot s) + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.6.1.2.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + s \cdot 2 + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.6.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 2 \cdot s + 3 (3 s) + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.6.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 2 s + 9 s + 3 \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.6.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 2 s + 9 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.6.2

Suma $2 s$ y $9 s$ .

$\frac{2 s^{2} - 4 s + 3 s^{2} + 11 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.7

Suma $2 s^{2}$ y $3 s^{2}$ .

$\frac{5 s^{2} - 4 s + 11 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.6.8

Suma $- 4 s$ y $11 s$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Paso 2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (3 s + 2) (s - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.8.1

Multiplica $\frac{2 s}{(3 s + 2) (s - 2)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s \cdot 2}{(3 s + 2) (s - 2) \cdot 2} = 0$

Paso 2.8.2

Reordena los factores de $(3 s + 2) (s - 2) \cdot 2$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} + \frac{2 s \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6 + 2 s \cdot 2}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5 s^{2} + 7 s + 6 + 4 s}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10.2

Suma $7 s$ y $4 s$ .

$\frac{5 s^{2} + 11 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.10.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 2.10.3.1.1

Factoriza $11$ de $11 s$ .

$\frac{5 s^{2} + 11 (s) + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10.3.1.2

Reescribe $11$ como $5$ más $6$

$\frac{5 s^{2} + (5 + 6) s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 s^{2} + 5 s + 6 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.10.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 s^{2} + 5 s) + 6 s + 6}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{5 s (s + 1) + 6 (s + 1)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 2.10.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $s + 1$ .

$\frac{(s + 1) (5 s + 6)}{2 (3 s + 2) (s - 2)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(s + 1) (5 s + 6) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $s$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$s + 1 = 0$

$5 s + 6 = 0$

Paso 4.2

Establece $s + 1$ igual a $0$ y resuelve $s$ .

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Paso 4.2.1

Establece $s + 1$ igual a $0$ .

$s + 1 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$s = - 1$

Paso 4.3

Establece $5 s + 6$ igual a $0$ y resuelve $s$ .

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Paso 4.3.1

Establece $5 s + 6$ igual a $0$ .

$5 s + 6 = 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $5 s + 6 = 0$ en $s$ .

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Paso 4.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$5 s = - 6$

Paso 4.3.2.2

Divide cada término en $5 s = - 6$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Divide cada término en $5 s = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 s}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 s}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 4.3.2.2.2.1.2

Divide $s$ por $1$ .

$s = \frac{- 6}{5}$

Paso 4.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$s = - \frac{6}{5}$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(s + 1) (5 s + 6) = 0$ verdadera.

$s = - 1, - \frac{6}{5}$