Álgebra Ejemplos

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer

x

$x$ del interior del coseno.

x = \arccos (\frac{1}{2})

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de

\arccos (\frac{1}{2})

$\arccos (\frac{1}{2})$ es

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Paso 3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

2 π

$2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 4

Simplifica

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 4.1

Para escribir

2 π

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina

2 π

$2 π$ y

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Multiplica

3

$3$ por

2

$2$ .

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 4.3.2

Resta

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 5

Obtén el período de

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza

b

$b$ con

1

$1$ en la fórmula para el período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

0

$0$ y

1

$1$ es

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.4

Divide

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Paso 6

El período de la función

\cos (x)

$\cos (x)$ es

2 π

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

2 π

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

n

$n$