Álgebra Ejemplos

x = {(y - 2)}^{2}

$x = {(y - 2)}^{2}$

Paso 1

Simplifica

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ como

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ .

x = (y - 2) (y - 2)

$x = (y - 2) (y - 2)$

Paso 1.2

Expande

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

x = y (y - 2) - 2 (y - 2)

$x = y (y - 2) - 2 (y - 2)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica

y

$y$ por

y

$y$ .

x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.2

Mueve

- 2

$- 2$ a la izquierda de

y

$y$ .

x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.3

Multiplica

- 2

$- 2$ por

- 2

$- 2$ .

x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

Paso 1.3.2

Resta

2 y

$2 y$ de

- 2 y

$- 2 y$ .

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de

y^{2} - 4 y + 4

$y^{2} - 4 y + 4$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = 4

$c = 4$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Cancela el factor común de

- 4

$- 4$ y

2

$2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1

Factoriza

2

$2$ de

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 2.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 2.1.1.3.2.2.4

Divide

$- 2$ por

$1$ .

$d = - 2$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de

${(- 4)}^{2}$ y

$4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.1

Reescribe

$- 4$ como

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$e = 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.4

Multiplica

$4^{2}$ por

$1$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.5

Factoriza

$4$ de

$4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Factoriza

$4$ de

$4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6.4

Divide

$4$ por

$1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$e = 4 - 4$

Paso 2.1.1.4.2.2

Resta

$4$ de

$4$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

${(y - 2)}^{2} + 0$ .

${(y - 2)}^{2} + 0$

Paso 2.1.2

Establece

$x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y - 2)}^{2} + 0$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice,

$x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de

$a$ ,

$h$ y

$k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 2$

Paso 2.3

Como el valor de

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 2.4

Obtén el vértice

$(h, k)$ .

$(0, 2)$

Paso 2.5

Obtén

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de

$a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de

$1$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada x

$h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{4}, 2)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 2$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada x

$h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice:

$(0, 2)$

Foco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Eje de simetría:

$y = 2$

Directriz:

$x = - \frac{1}{4}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice:

$(0, 2)$

Foco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Eje de simetría:

$y = 2$

Directriz:

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Sustituye el valor

$x$

$1$ en

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . En este caso, el punto es

$(1, 3)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Paso 3.1.2.2

Cualquier raíz de

$1$ es

$1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Paso 3.1.2.3

Suma

$1$ y

$2$ .

$f (1) = 3$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es

$3$ .

$y = 3$

Paso 3.1.3

Convierte

$3$ a decimal.

$= 3$

Paso 3.2

Sustituye el valor

$x$

$1$ en

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . En este caso, el punto es

$(1, 1)$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Paso 3.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1

Cualquier raíz de

$1$ es

$1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 2$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Paso 3.2.2.3

Suma

$- 1$ y

$2$ .

$f (1) = 1$

Paso 3.2.2.4

La respuesta final es

$1$ .

$y = 1$

Paso 3.2.3

Convierte

$1$ a decimal.

$= 1$

Paso 3.3

Sustituye el valor

$x$

$2$ en

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . En este caso, el punto es

$(2, 3.41421356)$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$2$ en la expresión.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Paso 3.3.2.2

La respuesta final es

$\sqrt{2} + 2$ .

$y = \sqrt{2} + 2$

Paso 3.3.3

Convierte

$\sqrt{2} + 2$ a decimal.

$= 3.41421356$

Paso 3.4

Sustituye el valor

$x$

$2$ en

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . En este caso, el punto es

$(2, 0.58578643)$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$2$ en la expresión.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Paso 3.4.2.2

La respuesta final es

$- \sqrt{2} + 2$ .

$y = - \sqrt{2} + 2$

Paso 3.4.3

Convierte

$- \sqrt{2} + 2$ a decimal.

$= 0.58578643$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice:

$(0, 2)$

Foco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Eje de simetría:

$y = 2$

Directriz:

$x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Paso 5