Álgebra Ejemplos

$y = - x^{2} + 6 x - 4$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 6 x - 4$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = - 4$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 1.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = - 4 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - 4 - \frac{36}{- 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $36$ por $- 4$ .

$e = - 4 - - 9$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$e = - 4 + 9$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma $- 4$ y $9$ .

$e = 5$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 5$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x - 3)}^{2} + 5$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 5$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, \frac{19}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 3$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{21}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{19}{4})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = \frac{21}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{19}{4})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = \frac{21}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6 (2) - 4$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6 (2) - 4$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 6 (2) - 4$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 12 - 4$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 4$ y $12$ .

$f (2) = 8 - 4$

Paso 2.2.2.2

Resta $4$ de $8$ .

$f (2) = 4$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 2$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6 (1) - 4$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 (1) - 4$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 (1) - 4$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 4$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (1) = 5 - 4$

Paso 2.5.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$f (1) = 1$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 6 (4) - 4$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 6 (4) - 4$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (4) = - 16 + 6 (4) - 4$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$f (4) = - 16 + 24 - 4$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 16$ y $24$ .

$f (4) = 8 - 4$

Paso 2.8.2.2

Resta $4$ de $8$ .

$f (4) = 4$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 4$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 6 (5) - 4$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 6 (5) - 4$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (5) = - 25 + 6 (5) - 4$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $6$ por $5$ .

$f (5) = - 25 + 30 - 4$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Suma $- 25$ y $30$ .

$f (5) = 5 - 4$

Paso 2.11.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$f (5) = 1$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 5$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 1 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{19}{4})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 1 \end{array}$

Paso 4