Álgebra Ejemplos

y = x^{2} - 4 x + 3

$y = x^{2} - 4 x + 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de

x^{2} - 4 x + 3

$x^{2} - 4 x + 3$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = 3

$c = 3$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de

- 4

$- 4$ y

2

$2$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Factoriza

2

$2$ de

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{- 2}{1}

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.4

Divide

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ y

4

$4$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1.1

Reescribe

- 4

$- 4$ como

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.3

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

e = 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.4

Multiplica

4^{2}

$4^{2}$ por

1

$1$ .

e = 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.5

Factoriza

4

$4$ de

4^{2}

$4^{2}$ .

e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.1.1.6.1

Factoriza

4

$4$ de

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ .

e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

e = 3 - \frac{4}{1}

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6.4

Divide

4

$4$ por

1

$1$ .

e = 3 - 1 \cdot 4

$e = 3 - 1 \cdot 4$

e = 3 - 1 \cdot 4

$e = 3 - 1 \cdot 4$

e = 3 - 1 \cdot 4

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

e = 3 - 4

$e = 3 - 4$

e = 3 - 4

$e = 3 - 4$

Paso 1.1.4.2.2

Resta

4

$4$ de

3

$3$ .

e = - 1

$e = - 1$

e = - 1

$e = - 1$

e = - 1

$e = - 1$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

{(x - 2)}^{2} - 1

${(x - 2)}^{2} - 1$ .

{(x - 2)}^{2} - 1

${(x - 2)}^{2} - 1$

{(x - 2)}^{2} - 1

${(x - 2)}^{2} - 1$

Paso 1.2

Establece

y

$y$ igual al nuevo lado derecho.

y = {(x - 2)}^{2} - 1

$y = {(x - 2)}^{2} - 1$

y = {(x - 2)}^{2} - 1

$y = {(x - 2)}^{2} - 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 2

$h = 2$

k = - 1

$k = - 1$

Paso 3

Como el valor de

a

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(2, - 1)

$(2, - 1)$

Paso 5

Obtén

p

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de

a

$a$ en la fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de

1

$1$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

p

$p$ a la coordenada y

k

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(2, - \frac{3}{4})

$(2, - \frac{3}{4})$

(2, - \frac{3}{4})

$(2, - \frac{3}{4})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

x = 2

$x = 2$

Paso 8