Álgebra Ejemplos

3 \log (x) = \log (27)

$3 \log (x) = \log (27)$

Paso 1

Simplifica

3 \log (x)

$3 \log (x)$ al mover

3

$3$ dentro del algoritmo.

\log (x^{3}) = \log (27)

$\log (x^{3}) = \log (27)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

x^{3} = 27

$x^{3} = 27$

Paso 3

Resuelve

x

$x$

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Paso 3.1

Resta

27

$27$ de ambos lados de la ecuación.

x^{3} - 27 = 0

$x^{3} - 27 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe

27

$27$ como

3^{3}

$3^{3}$ .

x^{3} - 3^{3} = 0

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde

a = x

$a = x$ y

b = 3

$b = 3$ .

(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Mueve

3

$3$ a la izquierda de

x

$x$ .

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.2

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Paso 3.4

Establece

x - 3

$x - 3$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 3.4.1

Establece

x - 3

$x - 3$ igual a

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Paso 3.4.2

Suma

3

$3$ a ambos lados de la ecuación.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Paso 3.5

Establece

x^{2} + 3 x + 9

$x^{2} + 3 x + 9$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 3.5.1

Establece

x^{2} + 3 x + 9

$x^{2} + 3 x + 9$ igual a

0

$0$ .

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$ en

x

$x$ .

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Paso 3.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.2.2

Sustituye los valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = 3

$b = 3$ y

c = 9

$c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve

x

$x$ .

\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Multiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 9

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Resta

36

$36$ de

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.4

Reescribe

- 27

$- 27$ como

- 1 (27)

$- 1 (27)$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.5

Reescribe

\sqrt{- 1 (27)}

$\sqrt{- 1 (27)}$ como

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.6

Reescribe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ como

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.7

Reescribe

27

$27$ como

3^{2} \cdot 3

$3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.5.2.3.1.7.1

Factoriza

9

$9$ de

27

$27$ .

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.7.2

Reescribe

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.9

Mueve

3

$3$ a la izquierda de

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.2

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ verdadera.

x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$