Álgebra Ejemplos

f (x) = x^{2} - 4 x - 1

$f (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

x^{2} - 4 x - 1

$x^{2} - 4 x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = - 1

$c = - 1$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de

- 4

$- 4$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1

Factoriza

2

$2$ de

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{- 2}{1}

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.4

Divide

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ y

4

$4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1.1.1

Reescribe

- 4

$- 4$ como

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.3

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.4

Multiplica

4^{2}

$4^{2}$ por

1

$1$ .

e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.5

Factoriza

4

$4$ de

4^{2}

$4^{2}$ .

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Factoriza

4

$4$ de

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ .

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

e = - 1 - \frac{4}{1}

$e = - 1 - \frac{4}{1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Divide

4

$4$ por

1

$1$ .

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta

4

$4$ de

- 1

$- 1$ .

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$ .

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

Paso 1.1.2

Establece

y

$y$ igual al nuevo lado derecho.

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 2

$h = 2$

k = - 5

$k = - 5$

Paso 1.3

Como el valor de

a

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Paso 1.5

Obtén

p

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

a

$a$ en la fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de

1

$1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

p

$p$ a la coordenada y

k

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

x = 2

$x = 2$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

p

$p$ de la coordenada y

k

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

y = k - p

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Foco:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Eje de simetría:

x = 2

$x = 2$

Directriz:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Foco:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Eje de simetría:

x = 2

$x = 2$

Directriz:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

x

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

y

$y$ correspondientes. Los valores

x

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

1

$1$ en la expresión.

f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Resta

4

$4$ de

1

$1$ .

f (1) = - 3 - 1

$f (1) = - 3 - 1$

Paso 2.2.2.2

Resta

1

$1$ de

- 3

$- 3$ .

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Paso 2.3

El valor de

y

$y$ en

x = 1

$x = 1$ es

- 4

$- 4$ .

y = - 4

$y = - 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

x

$x$ con

0

$0$ en la expresión.

f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Suma

0

$0$ y

0

$0$ .

f (0) = 0 - 1

$f (0) = 0 - 1$

Paso 2.5.2.2

Resta

1

$1$ de

0

$0$ .

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Paso 2.6

El valor de

y

$y$ en

x = 0

$x = 0$ es

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

x

$x$ con

3

$3$ en la expresión.

f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1.1

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1$

Paso 2.8.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

3

$3$ .

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

Resta

12

$12$ de

9

$9$ .

f (3) = - 3 - 1

$f (3) = - 3 - 1$

Paso 2.8.2.2

Resta

1

$1$ de

- 3

$- 3$ .

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

Paso 2.8.3

La respuesta final es

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

Paso 2.9

El valor de

$y$ en

$x = 3$ es

$- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.1

Eleva

$4$ a la potencia de

$2$ .

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1$

Paso 2.11.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$4$ .

$f (4) = 16 - 16 - 1$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.2.1

Resta

$16$ de

$16$ .

$f (4) = 0 - 1$

Paso 2.11.2.2

Resta

$1$ de

$0$ .

$f (4) = - 1$

Paso 2.11.3

La respuesta final es

$- 1$ .

$- 1$

Paso 2.12

El valor de

$y$ en

$x = 4$ es

$- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(2, - 5)$

Foco:

$(2, - \frac{19}{4})$

Eje de simetría:

$x = 2$

Directriz:

$y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Paso 4