Álgebra Ejemplos

y = (x - 1) (x - 4)

$y = (x - 1) (x - 4)$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

(x - 1) (x - 4)

$(x - 1) (x - 4)$ .

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Paso 1.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.1.1

Expande

(x - 1) (x - 4)

$(x - 1) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

x (x - 4) - 1 (x - 4)

$x (x - 4) - 1 (x - 4)$

Paso 1.1.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 (x - 4)

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 (x - 4)$

Paso 1.1.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Paso 1.1.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.2.1.1

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

x^{2} + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x^{2} + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Paso 1.1.1.1.2.1.2

Mueve

- 4

$- 4$ a la izquierda de

x

$x$ .

x^{2} - 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 4

$x^{2} - 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 4$

Paso 1.1.1.1.2.1.3

Reescribe

- 1 x

$- 1 x$ como

- x

$- x$ .

x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 4

$x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 4$

Paso 1.1.1.1.2.1.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 4

$- 4$ .

x^{2} - 4 x - x + 4

$x^{2} - 4 x - x + 4$

x^{2} - 4 x - x + 4

$x^{2} - 4 x - x + 4$

Paso 1.1.1.1.2.2

Resta

x

$x$ de

- 4 x

$- 4 x$ .

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

Paso 1.1.1.2

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = 4

$c = 4$

Paso 1.1.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

d = \frac{- 5}{2}

$d = \frac{- 5}{2}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

Paso 1.1.1.5

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Eleva

- 5

$- 5$ a la potencia de

2

$2$ .

e = 4 - \frac{25}{4 \cdot 1}

$e = 4 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Multiplica

4

$4$ por

1

$1$ .

e = 4 - \frac{25}{4}

$e = 4 - \frac{25}{4}$

e = 4 - \frac{25}{4}

$e = 4 - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Para escribir

4

$4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.3

Combina

4

$4$ y

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

e = \frac{4 \cdot 4 - 25}{4}

$e = \frac{4 \cdot 4 - 25}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.2.5.1

Multiplica

4

$4$ por

4

$4$ .

e = \frac{16 - 25}{4}

$e = \frac{16 - 25}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5.2

Resta

25

$25$ de

16

$16$ .

e = \frac{- 9}{4}

$e = \frac{- 9}{4}$

e = \frac{- 9}{4}

$e = \frac{- 9}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

Paso 1.1.1.6

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Paso 1.1.2

Establece

y

$y$ igual al nuevo lado derecho.

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{9}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice

$(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Paso 1.5

Obtén

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

$a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de

$1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada y

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada y

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Eje de simetría:

$x = \frac{5}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{5}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Eje de simetría:

$x = \frac{5}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = ((1) - 1) ((1) - 4)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Resta

$1$ de

$1$ .

$f (1) = 0 ((1) - 4)$

Paso 2.2.2

Resta

$4$ de

$1$ .

$f (1) = 0 \cdot - 3$

Paso 2.2.3

Multiplica

$0$ por

$- 3$ .

$f (1) = 0$

Paso 2.2.4

La respuesta final es

$0$ .

$0$

Paso 2.3

El valor de

$y$ en

$x = 1$ es

$0$ .

$y = 0$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

$x$ con

$0$ en la expresión.

$f (0) = ((0) - 1) ((0) - 4)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Resta

$1$ de

$0$ .

$f (0) = - 1 ((0) - 4)$

Paso 2.5.2

Resta

$4$ de

$0$ .

$f (0) = - 1 \cdot - 4$

Paso 2.5.3

Multiplica

$- 1$ por

$- 4$ .

$f (0) = 4$

Paso 2.5.4

La respuesta final es

$4$ .

$4$

Paso 2.6

El valor de

$y$ en

$x = 0$ es

$4$ .

$y = 4$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

$x$ con

$3$ en la expresión.

$f (3) = ((3) - 1) ((3) - 4)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Resta

$1$ de

$3$ .

$f (3) = 2 ((3) - 4)$

Paso 2.8.2

Resta

$4$ de

$3$ .

$f (3) = 2 \cdot - 1$

Paso 2.8.3

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$f (3) = - 2$

Paso 2.8.4

La respuesta final es

$- 2$ .

$- 2$

Paso 2.9

El valor de

$y$ en

$x = 3$ es

$- 2$ .

$y = - 2$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$4$ en la expresión.

$f (4) = ((4) - 1) ((4) - 4)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Resta

$1$ de

$4$ .

$f (4) = 3 ((4) - 4)$

Paso 2.11.2

Resta

$4$ de

$4$ .

$f (4) = 3 \cdot 0$

Paso 2.11.3

Multiplica

$3$ por

$0$ .

$f (4) = 0$

Paso 2.11.4

La respuesta final es

$0$ .

$0$

Paso 2.12

El valor de

$y$ en

$x = 4$ es

$0$ .

$y = 0$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Eje de simetría:

$x = \frac{5}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Paso 4