Álgebra Ejemplos

$y = 9 - x^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Reordena

$9$ y

$- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 9$

Paso 1.1.2

Completa el cuadrado de

$- x^{2} + 9$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa la forma

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

$a$ ,

$b$ y

$c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 9$

Paso 1.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.2.3

Obtén el valor de

$d$ con la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de

$0$ y

$2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.1.1

Factoriza

$2$ de

$0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de

$\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 1.1.2.3.2.2

Reescribe

$- 1 \cdot 0$ como

$- 0$ .

$d = - 0$

Paso 1.1.2.3.2.3

Multiplica

$- 1$ por

$0$ .

$d = 0$

Paso 1.1.2.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 9 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.2.1.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$e = 9 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$- 1$ .

$e = 9 - \frac{0}{- 4}$

Paso 1.1.2.4.2.1.3

Divide

$0$ por

$- 4$ .

$e = 9 - 0$

Paso 1.1.2.4.2.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$0$ .

$e = 9 + 0$

Paso 1.1.2.4.2.2

Suma

$9$ y

$0$ .

$e = 9$

Paso 1.1.2.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$- {(x + 0)}^{2} + 9$ .

$- {(x + 0)}^{2} + 9$

Paso 1.1.3

Establece

$y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x + 0)}^{2} + 9$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

$a$ ,

$h$ y

$k$ .

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 9$

Paso 1.3

Como el valor de

$a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice

$(h, k)$ .

$(0, 9)$

Paso 1.5

Obtén

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

$a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de

$1$ y

$- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe

$1$ como

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada y

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, \frac{35}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada y

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{37}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice:

$(0, 9)$

Foco:

$(0, \frac{35}{4})$

Eje de simetría:

$x = 0$

Directriz:

$y = \frac{37}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice:

$(0, 9)$

Foco:

$(0, \frac{35}{4})$

Eje de simetría:

$x = 0$

Directriz:

$y = \frac{37}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 9$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

$- 1$ por

${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica

$- 1$ por

${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 9$

Paso 2.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 9$

Paso 2.2.1.1.2

Suma

$1$ y

$2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 9$

Paso 2.2.1.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$3$ .

$f (- 1) = - 1 + 9$

Paso 2.2.2

Suma

$- 1$ y

$9$ .

$f (- 1) = 8$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

$8$ .

$8$

Paso 2.3

El valor de

$y$ en

$x = - 1$ es

$8$ .

$y = 8$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} + 9$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva

$- 2$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 + 9$

Paso 2.5.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$f (- 2) = - 4 + 9$

Paso 2.5.2

Suma

$- 4$ y

$9$ .

$f (- 2) = 5$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

$5$ .

$5$

Paso 2.6

El valor de

$y$ en

$x = - 2$ es

$5$ .

$y = 5$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 9$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 9$

Paso 2.8.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$f (1) = - 1 + 9$

Paso 2.8.2

Suma

$- 1$ y

$9$ .

$f (1) = 8$

Paso 2.8.3

La respuesta final es

$8$ .

$8$

Paso 2.9

El valor de

$y$ en

$x = 1$ es

$8$ .

$y = 8$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 9$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 9$

Paso 2.11.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$f (2) = - 4 + 9$

Paso 2.11.2

Suma

$- 4$ y

$9$ .

$f (2) = 5$

Paso 2.11.3

La respuesta final es

$5$ .

$5$

Paso 2.12

El valor de

$y$ en

$x = 2$ es

$5$ .

$y = 5$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 5 \\ - 1 & 8 \\ 0 & 9 \\ 1 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice:

$(0, 9)$

Foco:

$(0, \frac{35}{4})$

Eje de simetría:

$x = 0$

Directriz:

$y = \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 5 \\ - 1 & 8 \\ 0 & 9 \\ 1 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}$

Paso 4