Álgebra Ejemplos

f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

2 x^{2} - 3 x + 1

$2 x^{2} - 3 x + 1$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 2

$a = 2$

b = - 3

$b = - 3$

c = 1

$c = 1$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

d = \frac{- 3}{4}

$d = \frac{- 3}{4}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva

$- 3$ a la potencia de

$2$ .

$e = 1 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$2$ .

$e = 1 - \frac{9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$e = \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{8 - 9}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Resta

$9$ de

$8$ .

$e = \frac{- 1}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{1}{8}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Paso 1.1.2

Establece

$y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

$a$ ,

$h$ y

$k$ .

$a = 2$

$h = \frac{3}{4}$

$k = - \frac{1}{8}$

Paso 1.3

Como el valor de

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice

$(h, k)$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Paso 1.5

Obtén

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

$a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Multiplica

$4$ por

$2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada y

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{4}, 0)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{3}{4}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada y

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Foco:

$(\frac{3}{4}, 0)$

Eje de simetría:

$x = \frac{3}{4}$

Directriz:

$y = - \frac{1}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Foco:

$(\frac{3}{4}, 0)$

Eje de simetría:

$x = \frac{3}{4}$

Directriz:

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

$2$ por

$0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica

$- 3$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma

$0$ y

$0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 2.2.2.2

Suma

$0$ y

$1$ .

$f (0) = 1$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

$1$ .

$1$

Paso 2.3

El valor de

$y$ en

$x = 0$ es

$1$ .

$y = 1$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$f (- 1) = 2 - 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 2.5.1.3

Multiplica

$- 3$ por

$- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 3 + 1$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma

$2$ y

$3$ .

$f (- 1) = 5 + 1$

Paso 2.5.2.2

Suma

$5$ y

$1$ .

$f (- 1) = 6$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

$6$ .

$6$

Paso 2.6

El valor de

$y$ en

$x = - 1$ es

$6$ .

$y = 6$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

$x$ con

$2$ en la expresión.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Multiplica

$2$ por

${(2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.1.1.1

Multiplica

$2$ por

${(2)}^{2}$ .

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Paso 2.8.1.1.1.1

Eleva

$2$ a la potencia de

$1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1$

Paso 2.8.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 3 \cdot 2 + 1$

Paso 2.8.1.1.2

Suma

$1$ y

$2$ .

$f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Paso 2.8.1.2

Eleva

$2$ a la potencia de

$3$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Paso 2.8.1.3

Multiplica

$- 3$ por

$2$ .

$f (2) = 8 - 6 + 1$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta

$6$ de

$8$ .

$f (2) = 2 + 1$

Paso 2.8.2.2

Suma

$2$ y

$1$ .

$f (2) = 3$

Paso 2.8.3

La respuesta final es

$3$ .

$3$

Paso 2.9

El valor de

$y$ en

$x = 2$ es

$3$ .

$y = 3$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$3$ en la expresión.

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 1$

Paso 2.11.1.2

Multiplica

$2$ por

$9$ .

$f (3) = 18 - 3 \cdot 3 + 1$

Paso 2.11.1.3

Multiplica

$- 3$ por

$3$ .

$f (3) = 18 - 9 + 1$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Resta

$9$ de

$18$ .

$f (3) = 9 + 1$

Paso 2.11.2.2

Suma

$9$ y

$1$ .

$f (3) = 10$

Paso 2.11.3

La respuesta final es

$10$ .

$10$

Paso 2.12

El valor de

$y$ en

$x = 3$ es

$10$ .

$y = 10$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Foco:

$(\frac{3}{4}, 0)$

Eje de simetría:

$x = \frac{3}{4}$

Directriz:

$y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}$

Paso 4