Álgebra Ejemplos

y = (x + 2) (x - 3)

$y = (x + 2) (x - 3)$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ .

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Paso 1.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.1.1

Expande

$(x + 2) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

Paso 1.1.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

Paso 1.1.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Paso 1.1.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.2.1.1

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Paso 1.1.1.1.2.1.2

Mueve

$- 3$ a la izquierda de

$x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

Paso 1.1.1.1.2.1.3

Multiplica

$2$ por

$- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

Paso 1.1.1.1.2.2

Suma

$- 3 x$ y

$2 x$ .

$x^{2} - x - 6$

Paso 1.1.1.2

Usa la forma

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

$a$ ,

$b$ y

$c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = - 6$

Paso 1.1.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

$d$ con la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Cancela el factor común de

$- 1$ y

$1$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Reescribe

$- 1$ como

$- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 1.1.1.5

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Para escribir

$- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.3

Combina

$- 6$ y

$\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.2.5.1

Multiplica

$- 6$ por

$4$ .

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5.2

Resta

$1$ de

$- 24$ .

$e = \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.6

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.2

Establece

$y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

$a$ ,

$h$ y

$k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice

$(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Paso 1.5

Obtén

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

$a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de

$1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

$p$ a la coordenada y

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

$p$ de la coordenada y

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

$p$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{13}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Eje de simetría:

$x = \frac{1}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{13}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Eje de simetría:

$x = \frac{1}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{13}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

$y$ correspondientes. Los valores

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = ((- 1) + 2) ((- 1) - 3)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Suma

$- 1$ y

$2$ .

$f (- 1) = 1 ((- 1) - 3)$

Paso 2.2.2

Multiplica

$(- 1) - 3$ por

$1$ .

$f (- 1) = (- 1) - 3$

Paso 2.2.3

Resta

$3$ de

$- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Paso 2.2.4

La respuesta final es

$- 4$ .

$- 4$

Paso 2.3

El valor de

$y$ en

$x = - 1$ es

$- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = ((- 2) + 2) ((- 2) - 3)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Suma

$- 2$ y

$2$ .

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 3)$

Paso 2.5.2

Resta

$3$ de

$- 2$ .

$f (- 2) = 0 \cdot - 5$

Paso 2.5.3

Multiplica

$0$ por

$- 5$ .

$f (- 2) = 0$

Paso 2.5.4

La respuesta final es

$0$ .

$0$

Paso 2.6

El valor de

$y$ en

$x = - 2$ es

$0$ .

$y = 0$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

$x$ con

$1$ en la expresión.

$f (1) = ((1) + 2) ((1) - 3)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Suma

$1$ y

$2$ .

$f (1) = 3 ((1) - 3)$

Paso 2.8.2

Resta

$3$ de

$1$ .

$f (1) = 3 \cdot - 2$

Paso 2.8.3

Multiplica

$3$ por

$- 2$ .

$f (1) = - 6$

Paso 2.8.4

La respuesta final es

$- 6$ .

$- 6$

Paso 2.9

El valor de

$y$ en

$x = 1$ es

$- 6$ .

$y = - 6$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

$x$ con

$2$ en la expresión.

$f (2) = ((2) + 2) ((2) - 3)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Suma

$2$ y

$2$ .

$f (2) = 4 ((2) - 3)$

Paso 2.11.2

Resta

$3$ de

$2$ .

$f (2) = 4 \cdot - 1$

Paso 2.11.3

Multiplica

$4$ por

$- 1$ .

$f (2) = - 4$

Paso 2.11.4

La respuesta final es

$- 4$ .

$- 4$

Paso 2.12

El valor de

$y$ en

$x = 2$ es

$- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Eje de simetría:

$x = \frac{1}{2}$

Directriz:

$y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Paso 4