Álgebra Ejemplos

$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 4$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = 1$

$k = - 4$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.4.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - \frac{31}{8})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 1$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{33}{8}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{31}{8})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{33}{8}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{31}{8})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{33}{8}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 2$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 2$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Paso 2.2.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 2$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 2$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 2 - 4 \cdot - 1 - 2$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 4 - 2$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Suma $2$ y $4$ .

$f (- 1) = 6 - 2$

Paso 2.5.2.2

Resta $2$ de $6$ .

$f (- 1) = 4$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.1.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Paso 2.8.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

Paso 2.8.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 2$

Paso 2.8.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (2) = 2^{3} - 4 \cdot 2 - 2$

Paso 2.8.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 8 - 4 \cdot 2 - 2$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 8 - 2$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.8.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (2) = 0 - 2$

Paso 2.8.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f (2) = - 2$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 2$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 2$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f (3) = 18 - 4 \cdot 3 - 2$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (3) = 18 - 12 - 2$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.11.2.1

Resta $12$ de $18$ .

$f (3) = 6 - 2$

Paso 2.11.2.2

Resta $2$ de $6$ .

$f (3) = 4$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 3$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{31}{8})$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - \frac{33}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

Paso 4