Álgebra Ejemplos

y = 10 x^{2}

$y = 10 x^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

10 x^{2}

$10 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 10

$a = 10$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{0}{2 \cdot 10}

$d = \frac{0}{2 \cdot 10}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de

0

$0$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

0

$0$ .

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 10}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 10}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 10

$2 \cdot 10$ .

d = \frac{2 (0)}{2 (10)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (10)}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 10}

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 10}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{0}{10}

$d = \frac{0}{10}$

d = \frac{0}{10}

$d = \frac{0}{10}$

d = \frac{0}{10}

$d = \frac{0}{10}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de

0

$0$ y

10

$10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza

10

$10$ de

0

$0$ .

d = \frac{10 (0)}{10}

$d = \frac{10 (0)}{10}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza

10

$10$ de

10

$10$ .

d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}

$d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}

$d = \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

d = \frac{0}{1}

$d = \frac{0}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.4

Divide

0

$0$ por

1

$1$ .

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 10}

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 10}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 10}

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 10}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica

4

$4$ por

10

$10$ .

e = 0 - \frac{0}{40}

$e = 0 - \frac{0}{40}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide

0

$0$ por

40

$40$ .

e = 0 - 0

$e = 0 - 0$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma

0

$0$ y

0

$0$ .

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

10 x^{2}

$10 x^{2}$ .

10 x^{2}

$10 x^{2}$

10 x^{2}

$10 x^{2}$

Paso 1.1.2

Establece

y

$y$ igual al nuevo lado derecho.

y = 10 x^{2}

$y = 10 x^{2}$

y = 10 x^{2}

$y = 10 x^{2}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = 10

$a = 10$

h = 0

$h = 0$

k = 0

$k = 0$

Paso 1.3

Como el valor de

a

$a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Paso 1.5

Obtén

p

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

a

$a$ en la fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 10}

$\frac{1}{4 \cdot 10}$

Paso 1.5.3

Multiplica

4

$4$ por

10

$10$ .

\frac{1}{40}

$\frac{1}{40}$

\frac{1}{40}

$\frac{1}{40}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

p

$p$ a la coordenada y

k

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

x = 0

$x = 0$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

p

$p$ de la coordenada y

k

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

y = k - p

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(0, 0)

$(0, 0)$

Foco:

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

Eje de simetría:

x = 0

$x = 0$

Directriz:

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(0, 0)

$(0, 0)$

Foco:

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

Eje de simetría:

x = 0

$x = 0$

Directriz:

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

x

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

y

$y$ correspondientes. Los valores

x

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

- 1

$- 1$ en la expresión.

f (- 1) = 10 {(- 1)}^{2}

$f (- 1) = 10 {(- 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- 1) = 10 \cdot 1

$f (- 1) = 10 \cdot 1$

Paso 2.2.2

Multiplica

10

$10$ por

1

$1$ .

f (- 1) = 10

$f (- 1) = 10$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

10

$10$ .

10

$10$

10

$10$

Paso 2.3

El valor de

y

$y$ en

x = - 1

$x = - 1$ es

10

$10$ .

y = 10

$y = 10$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

x

$x$ con

1

$1$ en la expresión.

f (1) = 10 {(1)}^{2}

$f (1) = 10 {(1)}^{2}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

f (1) = 10 \cdot 1

$f (1) = 10 \cdot 1$

Paso 2.5.2

Multiplica

10

$10$ por

1

$1$ .

f (1) = 10

$f (1) = 10$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

10

$10$ .

10

$10$

10

$10$

Paso 2.6

El valor de

y

$y$ en

x = 1

$x = 1$ es

10

$10$ .

y = 10

$y = 10$

Paso 2.7

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}$

\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice:

(0, 0)

$(0, 0)$

Foco:

(0, \frac{1}{40})

$(0, \frac{1}{40})$

Eje de simetría:

x = 0

$x = 0$

Directriz:

y = - \frac{1}{40}

$y = - \frac{1}{40}$

\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 10 \\ 0 & 0 \\ 1 & 10 \end{array}$

Paso 4