Álgebra Ejemplos

$16 x^{4} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$16 {(x^{2})}^{2} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 16 \cdot 25 = 400$ y cuya suma es $b = - 41$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 41$ de $- 41 u$ .

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 41$ como $- 16$ más $- 25$

$16 u^{2} + (- 16 - 25) u + 25 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 u^{2} - 16 u - 25 u + 25 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(16 u^{2} - 16 u) - 25 u + 25 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$16 u (u - 1) - 25 (u - 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 1$ .

$(u - 1) (16 u - 25) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (16 x^{2} - 25) = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Paso 7

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 25) = 0$

Paso 8

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4 x$ y $b = 5$ .

$(x + 1) (x - 1) ((4 x + 5) (4 x - 5)) = 0$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Paso 11

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 11.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 12

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 12.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 13

Establece $4 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $4 x + 5$ igual a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $4 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 5$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Paso 13.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{4}$

Paso 14

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $4 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 5$

Paso 14.2.2

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 14.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 14.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 14.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$