Álgebra Ejemplos

$z^{4} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Paso 1

Reescribe $z^{4}$ como ${(z^{2})}^{2}$ .

${(z^{2})}^{2} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Paso 2

Sea $u = z^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $z^{2}$ .

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 13 u + 36$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $36$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 9, - 4$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z^{2}$ .

$(z^{2} - 9) (z^{2} - 4) = 0$

Paso 5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(z^{2} - 3^{2}) (z^{2} - 4) = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 3$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 4) = 0$

Paso 7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 2$ .

$(z + 3) (z - 3) ((z + 2) (z - 2)) = 0$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z + 3 = 0$

$z - 3 = 0$

$z + 2 = 0$

$z - 2 = 0$

Paso 10

Establece $z + 3$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 10.1

Establece $z + 3$ igual a $0$ .

$z + 3 = 0$

Paso 10.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 3$

Paso 11

Establece $z - 3$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 11.1

Establece $z - 3$ igual a $0$ .

$z - 3 = 0$

Paso 11.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 3$

Paso 12

Establece $z + 2$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 12.1

Establece $z + 2$ igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

Paso 12.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 2$

Paso 13

Establece $z - 2$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 13.1

Establece $z - 2$ igual a $0$ .

$z - 2 = 0$

Paso 13.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 2$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$ verdadera.

$z = - 3, 3, - 2, 2$