Álgebra Ejemplos

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 = \frac{2 x}{x - 4}$

Paso 1

Resta $\frac{2 x}{x - 4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{64}{x^{2} - 4^{2}} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{2 x}{x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + 1 = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 4) (x - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{2 x}{x - 4}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $2$ de $64 - 2 x (x + 4)$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$\frac{2 (32) - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x (x + 4)$ .

$\frac{2 (32) + 2 (- x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (32) + 2 (- x (x + 4))$ .

$\frac{2 (32 - x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (32 - x \cdot x - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (32 - (x \cdot x) - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (32 - x^{2} - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 (32 - x^{2} - 4 x)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.5

Reordena los términos.

$\frac{2 (- x^{2} - 4 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.5.1.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 2.5.1.6.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 4 (x) + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.6.1.2

Reescribe $- 4$ como $4$ más $- 8$

$\frac{2 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.5.1.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.1.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 4$ .

$\frac{2 ((- x + 4) (x + 8))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

$\frac{2 (- x + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $- x + 4$ y $x - 4$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.2.2

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.2.4

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Paso 2.5.2.6

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1) (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Paso 2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Paso 2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + \frac{x + 4}{x + 4} = 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 (x + 8) + x + 4}{x + 4} = 0$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 8 + x + 4}{x + 4} = 0$

Paso 2.8.2

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{- 2 x - 16 + x + 4}{x + 4} = 0$

Paso 2.8.3

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$\frac{- x - 16 + 4}{x + 4} = 0$

Paso 2.8.4

Suma $- 16$ y $4$ .

$\frac{- x - 12}{x + 4} = 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 12}{x + 4} = 0$

Paso 2.10

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\frac{- (x) - 1 (12)}{x + 4} = 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (12)$ .

$\frac{- (x + 12)}{x + 4} = 0$

Paso 2.12

Reescribe $- (x + 12)$ como $- 1 (x + 12)$ .

$\frac{- 1 (x + 12)}{x + 4} = 0$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 12}{x + 4} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x + 12 = 0$

Paso 4

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 12$