Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} = 5$

Paso 1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{x + 3}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{x - 2}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x + 3}{x - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{x - 2}{x}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 3) x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.3

Expande $(x - 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + x (x - 1) - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.4.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.5

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.6

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.7

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.8

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2$ .

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Paso 2.5.8.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.8.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.5.8.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Paso 2.6

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.7

Combina $- 5$ y $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} + \frac{- 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.5

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6

Resta $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.7

Reordena los términos.

$\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.9.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 2.9.8.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 5 (x) + 2}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.8.1.2

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 6) x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.9.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 2 (- 3 x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.11

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.13

Reescribe $- (3 x + 1)$ como $- 1 (3 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 4.2.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 4.2.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 4.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, 2$