Álgebra Ejemplos

$\log_{x} (\frac{1}{64}) = - 3$

Paso 1

Reescribe $\log_{x} (\frac{1}{64}) = - 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = \frac{1}{64}$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{64}$

Paso 2.2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$1 \cdot 64 = x^{3} \cdot 1$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 64$ .

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 64$

Paso 2.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = 1 \cdot 64$

Paso 2.3.3

Multiplica $64$ por $1$ .

$x^{3} = 64$

Paso 2.3.4

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 64 = 0$

Paso 2.3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Paso 2.3.5.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 2.3.5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Paso 2.3.5.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Paso 2.3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 2.3.7

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.7.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.3.8

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.1

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 2.3.8.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3.8.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.8.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3.8.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.3.8.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$