Álgebra Ejemplos

${(2 x + 3 y)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{3 - k} \cdot {(3 y)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{3 - 0} \cdot {(3 y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{3 - 1} \cdot {(3 y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{3 - 2} \cdot {(3 y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{3 - 3} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 x)}^{3}$ por $1$ .

${(2 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$2^{3} x^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$8 x^{3} \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \cdot 3^{0} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.9

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.13

Simplifica.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{3} + 12 \cdot 3 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.15

Multiplica $12$ por $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.16

Simplifica.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 3 \cdot (2 x) \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.17

Multiplica $2$ por $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 x \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.18

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 x \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.19

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 \cdot 3^{2} x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.20

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 \cdot 9 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.21

Multiplica $6$ por $9$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.22

Multiplica ${(2 x)}^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 2^{0} x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.24

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.25

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.26

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 \cdot {(3 y)}^{3}$

Paso 4.27

Multiplica ${(3 y)}^{3}$ por $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(3 y)}^{3}$

Paso 4.28

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 3^{3} y^{3}$

Paso 4.29

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$