Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x}{x + 1} = \frac{12}{x^{2} - 1} + 2$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{12}{x^{2} - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} = 2$

Paso 1.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2 = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1^{2}} - 2 = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{3 x}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{3 x}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x (x - 1) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $3$ de $3 x (x - 1) - 12$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $3$ de $3 x (x - 1)$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{3 (x (x - 1) - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.6

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.7

Combina $- 2$ y $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x^{2} - x - 4) - 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.2

Simplifica.

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Paso 2.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.2.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.5

Expande $(- 2 x - 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.9.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.7

Resta $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 12 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.8

Suma $- 12$ y $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.9

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 2.9.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 2.9.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.2

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 2$