Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x + 6) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x + 6)) = 3$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 6) = 3$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 6) = 3$

Paso 1.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{3} = x^{2} + 6 x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 6 x = 3^{3}$ .

$x^{2} + 6 x = 3^{3}$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} + 6 x = 27$

Paso 3.3

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 6 x - 27 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2} + 6 x - 27$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 27$ y cuya suma es $6$ .

$- 3, 9$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 9) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 9 = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.7

Establece $x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 9$ igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 9) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 9$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (x) + \log_{3} (x + 6) = 3$ sea verdadera.

$x = 3$