Álgebra Ejemplos

$f (x) = 9 - {(x - 4)}^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reordena $9$ y $- {(x - 4)}^{2}$ .

$y = - {(x - 4)}^{2} + 9$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 9$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, 9)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, \frac{35}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 4$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{37}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, 9)$

Foco: $(4, \frac{35}{4})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = \frac{37}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, 9)$

Foco: $(4, \frac{35}{4})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = \frac{37}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 8 (3) - 7$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 8 (3) - 7$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (3) = - 9 + 8 (3) - 7$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $8$ por $3$ .

$f (3) = - 9 + 24 - 7$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 9$ y $24$ .

$f (3) = 15 - 7$

Paso 2.2.2.2

Resta $7$ de $15$ .

$f (3) = 8$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 3$ es $8$ .

$y = 8$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 8 (2) - 7$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 8 (2) - 7$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 8 (2) - 7$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 16 - 7$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 4$ y $16$ .

$f (2) = 12 - 7$

Paso 2.5.2.2

Resta $7$ de $12$ .

$f (2) = 5$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $5$ .

$y = 5$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 8 (5) - 7$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 8 (5) - 7$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (5) = - 25 + 8 (5) - 7$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $8$ por $5$ .

$f (5) = - 25 + 40 - 7$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 25$ y $40$ .

$f (5) = 15 - 7$

Paso 2.8.2.2

Resta $7$ de $15$ .

$f (5) = 8$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 5$ es $8$ .

$y = 8$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 8 (6) - 7$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 8 (6) - 7$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f (6) = - 36 + 8 (6) - 7$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $8$ por $6$ .

$f (6) = - 36 + 48 - 7$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Suma $- 36$ y $48$ .

$f (6) = 12 - 7$

Paso 2.11.2.2

Resta $7$ de $12$ .

$f (6) = 5$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 6$ es $5$ .

$y = 5$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 5 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ 5 & 8 \\ 6 & 5 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, 9)$

Foco: $(4, \frac{35}{4})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 5 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ 5 & 8 \\ 6 & 5 \end{array}$

Paso 4