Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Paso 1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 2.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 2.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Paso 2.6.5

Evalúa el exponente.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Paso 3

Reescribe $\frac{\sqrt{5}}{5}$ como $\sqrt{5} \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$

Paso 4

Reescribe $\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$ como $\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$

Paso 5

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{5} (\sqrt{5}) - \log_{5} (5)$

Paso 6

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1 \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1$

Paso 8

Reescribe $\log_{5} (\sqrt{5})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 8.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Paso 8.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.5$