Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{3} \ln ({(x + 2)}^{3}) + \frac{1}{2} (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{3} \ln ({(x + 2)}^{3})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Paso 1.3

Simplifica.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Paso 1.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}})$

Paso 1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 1.5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 1.5.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{((x + 1) (x + 2))}^{2}})$

Paso 1.5.2

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x + 2)$ .

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$

Paso 1.6

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln (x + 2) + \ln ({(\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.7.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.7.2

Aplica la regla del producto a ${(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.8

Simplifica el denominador.

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Paso 1.8.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.8.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.8.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.8.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{1} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.8.2

Simplifica.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.8.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.8.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Paso 1.8.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.3.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Paso 1.8.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{1}})$

Paso 1.8.4

Simplifica.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Paso 3

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x + 2$ de $(x + 1) (x + 2)$ .

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1})$