Álgebra Ejemplos

$3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 24$

Paso 1

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 24 = 0$

Paso 2

Factoriza $3$ de $3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 24$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ .

$3 ({(x - 2)}^{\frac{3}{4}}) - 24 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 3 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $3$ de $3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 3 \cdot - 8$ .

$3 ({(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8) = 0$

Paso 3

Reescribe ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ como ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

$3 ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8) = 0$

Paso 4

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$3 ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3}) = 0$

Paso 5

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ y $b = 2$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 6.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 6.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 6.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 6.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 2^{2})) = 0$

Paso 6.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 4)) = 0$

Paso 6.1.4

Reordena los términos.

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)) = 0$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Paso 7

Divide cada término en $3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ por $1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.2

Expande $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1.2.1

Mueve ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.2.3.1.2.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{2 (1)}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

Paso 7.2.3.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.3

Multiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.3.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.3.5

Suma $1$ y $2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.4

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.2

Combina los términos opuestos en $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Resta $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ de $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.2.2

Suma $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ y $0$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.2.3

Resta $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8 = \frac{0}{3}$

Paso 7.2.3.2.4

Suma $0$ y ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8 = \frac{0}{3}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Paso 8

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 8$

Paso 9

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{4}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Paso 10

Simplifica el exponente.

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Paso 10.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.1.1

Simplifica ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 10.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 10.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Paso 10.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Paso 10.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Paso 10.1.1.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Paso 10.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

${(x - 2)}^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Paso 10.1.1.2

Simplifica.

$x - 2 = 8^{\frac{4}{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

Simplifica $8^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 10.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x - 2 = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Paso 10.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 2 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 10.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x - 2 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 10.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x - 2 = 2^{4}$

Paso 10.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$x - 2 = 16$

Paso 11

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 11.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16 + 2$

Paso 11.2

Suma $16$ y $2$ .

$x = 18$